توضیح سقوط آزاد اجسام با نسبیت عام و چرایی افزایش سرعت جسم هنگام سقوط آزاد

نسبیت عام چگونه حرکت سقوط آزاد اجسام را توضیح می دهد و چرا سرعت یک جسم به هنگام سقوط آزاد افزایش پیدا می‌کند؟

در نسبیت عام، یک جسم در حال سقوط به عنوان جسمی در نظر گرفته می‌‌شود که هیچ نیرویی بر آن وارد نمی شود (چیزهایی مانند مقاومت هوا و غیره البته نادیده گرفته می شود). این حرکت “مستقیم ترین” مسیر در فضازمان را دنبال می کند. در فضای معمولی، مستقیم ترین مسیر مسیری است که فاصله بین دو نقطه در مسیر حداقلی باشد، به عنوان مثال در یک صفحه تخت این مسیر یک خط مستقیم است، روی یک سطح کروی، یک دایره بزرگ مانند استوا است. اما در فضا-زمان، دیگر اینگونه نیست و داستان کاملا متفاوت است. دو نقطه اکنون فقط نقاطی در فضا نیستند، بلکه در فضا-زمان هستند. در فیزیک نیوتونی فضا و زمان کاملا جدا هستند و زمان در واقع یک نقش کاملا جانبی بازی می‌کند و در همه جا یکسان است و از اهمیتی برخوردار نیست، در صورتیکه در نسبیت، زمان و فضا کاملا در هم ادغام و تنیده شده ا‌ند و کاملا با یکدیگر از نظر ارزشی برابری میکنند! کوتاه ترین مسیر در فضا-زمان بین دو نقطه (که “رویدادها” نیز نامیده می شود) دیگر یک خط مستقیم نیست، بلکه مسیری است که بر روی آن جسم بیشترین زمان را سپری می‌کند! این یک اصل است و به آن اصل maximum proper time گفته می‌‌شود!

اگر به عنوان مثال یک توپ در حال سقوط را در نظر بگیرید، در اینجا با دو پدیده نسبیتی روبرو هستید و باید در نظر بگیرید: بر اساس نسبیت خاص، هر چه توپ سریعتر حرکت می کند (افزایش سرعت پیدا کند)، زمان برای توپ کندتر می گذرد. این اثر در سرعت‌های معمولی (بسیار دور از سرعت نور) کوچک و ناچیز است، اما باعث می‌شود توپی با سرعت ثابت مثلاً ۵ متر بر ثانیه، زمان برای حدود ۰.۱۴ فمتو ثانیه کندتر “حرکت کند”. یک فمتو ثانیه ده به توان منهای ۱۵ ثانیه است! علاوه بر این، بر اساس نسبیت عام، زمان در ارتفاعات سریعتر می گذرد. اگر یک ثانیه مدت زمانی‌ باشد که در ارتفاع صفر متر می‌گذرد، زمان در ارتفاع ۵ متری از سطح زمین ۰.۵۵ فمتوثانیه برای توپ سریع تر می‌‌گذرد! این دو اثر باعث می‌‌شوند یک توپ در حال سقوط با افزایش سرعت سقوط کند، زیرا در مجموع، زمان برای توپ از نقطه A تا B باید حداکثر بشود تا توپ بتواند کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه را به طور طبیعی پیمایش کند! چرا کوتاه‌ترین مسیر؟ زیرا که اجسام همیشه مسیر کمترین انرژی را برای پیمایش انتخاب میکنند! به عبارت دیگر برای پیمایش یک مسیر حداقلی بین دو نقطه در فضا‌-زمان، بیشترین زمان باید برای توپ در حین سقوط گذشته باشد! بدین ترتیب وقتی‌ توپی‌ را از ارتفاع رها می‌کنید، سرعت توپ در ابتدا کم است. چرا؟ زیرا که توپ می‌خواهد مدت زمان بیشتری در ارتفاع بیشتر از سطح زمین سپری کند! چرا؟ زیرا بدلیل اتساع گرانشی زمان (نسبیت عام)، برای توپ در ارتفاع زمان تندتر می‌گذرد، اما پس از مدتی‌ ارتفاع توپ از سطح زمین کاسته می‌‌شود و بدین روی اتساع گرانشی زمان کاهش میابد، اما از آنجا که زمان برای توپ در مجموع بین دو نقطه باید حد اکثری بشود، بنابرین نیاز است که سرعت توپ افزایش پیدا کند تا مدت زمان کمتری را توپ در ارتفاعات نزدیک به سطح زمین سپری کند. چرا؟ زیرا هر چه به سطح زمین نزدیک تر می‌‌شوید زمان کندتر می‌گذرد. از طرف دیگر همچنین، بر اساس نسبیت خاص، اگر سرعت افزایش پیدا کند زمان کندتر خواهد گذشت! بنابرین به عنوان مثال در سقوط آزاد یک جسم، با دو پدیده نسبیتی روبرو هستید که بر علیه همدیگر کار میکنند، اما در مجموع نتیجه به اینگونه خواهد بود که زمان برای توپ بین دو نقطه ماکزیموم بشود! بدین جهت، به هنگام سقوط آزاد، توپ اول باید کند و سپس در نزدیکی‌ زمین باید افزایش سرعت به خود بدهد!

بدون اثر اتساع گرانشی زمان، مستقیم ترین مسیر بین دو رویداد در فضا-زمان، مسیری است که سرعت جسم در آن ثابت است و هر چه این سرعت ثابت به سرعت نور نزدیک تر باشد، فاصله فضا‌زمانی‌ بین دو رویداد کوتاهتر خواهد بود! این را در تصویر بالا میتوانید ببینید. اعداد در کنار هر خط نشانگر اندازه مسافت در فضا و زمان در واحد نور ثانیه است. خط مستقیم بین رو رویداد طولانی مسافت در فضا‌زمان است و هر چه از خط مستقیم فاصله میگیرید (نزدیک به صورت نور میشوید)، مسافت کوتاه تر می‌‌شود! بنابراین توپی‌ که در میدان گرانش در حال سقوط است باید اول کمی کندتر (تا بر اساس نسبیت عام زمان او سریع تر بگذرد) و بعدا کمی سریعتر باشد تا تا کندی زمان برای توپ کوتاه تر باشد! اثر نسبیت خاص و عام (که بر علیه همدیگر عمل میکنند) در مجموع باعث افزایش حداکثری زمان برای توپ می‌ شود!

ساده سازی بحث:

۱- حرکت توپ در فضای تنیده زمان-مکان بررسی میشود.

۲- در این حالت کوتاه ترین مسیر آن مسیری هست که جسم بر روی آن بیشترین زمان را طی می‌کند.

۳- جسم باید از کوتاه ترین مسیر برود چون اجسام همیشه مسیری را انتخاب میکنند که کمترین انرژی مصرفی را داشته باشد.

۴- با نوع نسبیت در اینجا سروکار داریم : نسبیت عام و خاص.

۵- از برهم کنش متقابل این دو نسبیت، بیشترین زمان حاصل میشود.

۶- در نسبیت عام هر چه ارتفاع بیشتر باشد زمان تندتر و هرچه ارتفاع کمتر باشد زمان کندتر میگذرد.

۷- در نسبیت خاص هرچه جسم با سرعت بیشتری حرکت کند زمان کندتر و هرچه با سرعت کمتری حرکت کند زمان تندتر میگذرد.

۸- هنگامی که جسم در نقطه شروع و حداکثر ارتفاع خود است، بر طبق نسبیت عام زمان در تندترین حالت خود هست پس جسم باید زمان بیشتری را در این ارتفاع باشد پس سرعت کمتری دارد. طبق نسبیت خاص زمان در این وضعیت تندتر می‌‌گذرد.

۹- هنگامی که جسم در حداقل ارتفاع خود است بر طبق نسبیت عام، زمان کندتر است پس جسم باید زمان کمتری را در این ارتفاع باشد، پس سرعت بیشتری دارد. طبق نسبیت خاص زمان در این وضعیت کندتر می‌‌گذرد.